Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A（2，0）、B（3，3），頂點為C，直線BC與y軸交于點D，點P是x軸負半軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）試探究m為何值時，四邊形ODPQ是平行四邊形；
（3）否存在點Q，使得以P、Q、A為頂點三角形與△BOC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）應用待定系數(shù)法即可求得．
（2）先求出直線BC的解析式，然后根據(jù)PQ∥OD且相等即可求得．
（3）先證得三角形BOC是以O為頂點的直角三角形，然后根據(jù)三角形相似對應邊成比例即可求得．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A（2，0）、B（3，3），
∴

4a+2b=0 9a+3b=3

 解得：

a=1 b=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x²-2x；
∴y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴頂點C（1，-1），
設直線BC為y=kx+m，
則

3k+m=3 k+m=-1

 解得

k=2 m=-3

，
∴直線BC為y=2x-3，
∵當x=0時，y=-3，
∴OD=3，
∵PQ∥OD，
∴當PQ=OD時，四邊形ODPQ是平行四邊形，
∴m²-2m=3，解得m=3（舍去）m=-1，
∴當m=-1時，四邊形ODPQ是平行四邊形．

（3）存在；
解：∵P（m，0），
∴Q（m，m²-2m），
∴PQ=m²-2m，PA=2-m，
∵A（2，0）、B（3，3）、C（1，-1），
∴OB=3

2

，OC=

2

，
∴OB²+OC²=20，
∵BC²=（3-1）²+（3+1）²=20，
∴△BOC是直角三角形，∠BOC=90°，
∵以P、Q、A為頂點三角形與△BOC相似，
∴

PQ

OC

=

PA

OB

或

PQ

OB

=

PA

OC

，
當

PQ

OC

=

PA

OB

時，則

m2-2m

2

=

2-m

3 2

，
解得m=-

1

3

，m=2（舍去），
當

PQ

OB

=

PA

OC

時，則

m2-2m

3 2

=

2-m

2

，
解得m=-3，m=2（舍去），
∴使得以P、Q、A為頂點三角形與△BOC相似的Q點的坐標Q（-

1

3

，

7

9

）或Q（-3，15）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式的方法，拋物線頂點的求法，平行四邊形的判定，直角三角形的判定以及三角形相似的性質(zhì)等．