【題目】問題原型:如圖①,正方形ABCD的對角線交于點O,點E、F分別為邊AB、AD中點,且∠EOF=90°,易得四邊形AEOF的面積是正方形ABCD的面積的四分之一.(不用證明)

探究發(fā)現(xiàn):某數(shù)學(xué)興趣小組,嘗試改變點E、F的位置,點E、F分別為邊AB、AD上任一點,且∠EOF=90°,如圖②,探究:四邊形AEOF的面積是否為正方形ABCD面積的四分之一?并說明理由.
拓展提升:如圖③,菱形ABCD中,∠BAD=120°,∠EAF=60°,且點E、F分別在邊DC、BC上,四邊形AECF的面積是菱形ABCD面積的幾分之一?(直接寫出結(jié)果即可)

【答案】解:探究發(fā)現(xiàn),四邊形AEOF的面積是否為正方形ABCD面積的四分之一.

理由:如圖②中,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴DO=AO,∠ODF=∠OAE=45°,∠DOA=90°,△AOD的面積是正方形ABCD面積的四分之一,

∵∠EOF=90°,

∴∠AOE+∠AOF=90°,又∠ODF=∠AOF=∠DOA=90°,

∴∠AOE=∠DOF,

∴△AOE≌△DOF,

∴S四邊形AEOF=S△AOD

∴S四邊形AEOF= S正方形ABCD

拓展提升:結(jié)論:S四邊形AEGF= S菱形ABGD

理由:如圖③中,連接AG.

∵四邊形ABGD是菱形,∠DAB=120°,

∴AB=BG=GD=AD,∠GAD=∠GAB=60°,

∴△ADG和△ABG都是等邊三角形,

∴∠D=∠AGF=60°,AD=AG,

∵∠DAG=∠EAF=60°,

∴∠DAE=∠GAF,

∴△DAE≌△GAF,

∴S△DAE=S△GAF,

∴S四邊形AEGF=S△ADG= S菱形ABGD


【解析】探究發(fā)現(xiàn):只要證明△AOE≌△DOF,可得S四邊形AEOF=S△AOD,推出S四邊形AEOF= S正方形ABCD;

拓展提升:結(jié)論:S四邊形AEGF= S菱形ABGD.只要證明△DAE≌△GAF即可解決問題;

練習(xí)冊系列答案
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x

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6.18

6.19

6.20

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0.02

0.01

0.02

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