Question

10．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處（AE為折痕，點(diǎn)E在CD上），在AD上截取DG，使以DG=CF．
（1）求證：△ABF∽△FCE；
（2）求證：BD⊥GE．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠ABF=∠C=∠ADC=90°，由折疊的性質(zhì)可得：∠AFE=∠ADC=90°，然后由等角的余角相等，證得∠BAF=∠CFE，即可判定△ABF∽△FCE；
（2）由△ABF∽△FCE，DG=CF，易證得$\frac{DG}{DE}$=$\frac{AB}{AD}$，即可判定△DBA∽△EGD，繼而可求得∠DGH+∠GDH=90°，則可得BD⊥GE．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠BFA=90°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠AFE=∠ADC=90°，
∴∠CFE+∠BFA=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE；

（2）∵DG=CF，DE=EF，
∴cos∠EFC=$\frac{FC}{EF}$=$\frac{DG}{DE}$，
∵cos∠BAF=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AB}{AD}$，∠BAF=∠EFC，
∴$\frac{DG}{DE}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{DE}{AD}$，
∵∠BAD=∠GDE=90°，
∴△DBA∽△EGD，
∴∠DBA=∠EGD，
∵∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠GHD=90°，
∴BD⊥GE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．