Question

【題目】（定義）若一個(gè)四邊形恰好關(guān)于其中一條對(duì)角線所在的直線對(duì)稱，則我們將這個(gè)四邊形叫做鏡面四邊形．

（理解）（1）下列說(shuō)法是否正確（對(duì)的打√，錯(cuò)的打×）

①平行四邊形是一個(gè)鏡面四邊形　 　

②鏡面四邊形的面積等于對(duì)角線積的一半．　 　

（2）如圖（1），請(qǐng)你在4×4的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中畫(huà)出一個(gè)鏡面四邊形，使它圖（1）的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且有一邊長(zhǎng)為．

（應(yīng)用）（3）如圖（2），已知鏡面四邊形ABCD，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，AB≠BC，P是AD上一點(diǎn)，AE⊥BP的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使EF＝BE，連接AF，作∠FAD的平分線AG交BF于G，CM⊥BF于M，連接CG．

①求∠EAG的度數(shù)．

②比較BM與EG的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①×；②√；（2）見(jiàn)解析；（3）①30°；②BM＝EG，見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和鏡面四邊形的定義，直接判斷；

（2）由鏡面四邊形的意義，得到必有兩邊是，一個(gè)直角，畫(huà)出圖形即可

（3）①根據(jù)角平分線的定義得到∠EAF＝∠BAF，∠GAF＝∠FAD計(jì)算；②先判斷△ABE∽△BCM，通過(guò)計(jì)算判斷出BM＝EG

解：（1）①∵平行四邊形不一定關(guān)于任何一條對(duì)角線對(duì)稱，

∴錯(cuò)誤，

故答案×；

②∵鏡面四邊形關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱，

∴鏡面四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，

∴鏡面四邊形的面積等于對(duì)角線積的一半；

故答案為√．

（2）∵有一邊長(zhǎng)為．

∴鏡面四邊形必有兩邊是．

如圖（1）

（3）①∵AE⊥BP，EF＝BE，

∴AB＝AF，

∴∠EAF＝∠BAF，

∵∠GAF＝∠FAD，

∴∠EAG＝∠EAF﹣∠GAF＝∠BAF﹣∠FAD＝∠BAD＝30°；

②BM＝EG，

理由如下：如圖（2）連接AC，

∵∠ABC＝90°，∠BAD＝60°，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝∠AEB＝∠CMB＝90°，

∴∠BAE+∠ABF＝∠ABP+∠ABF＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

∴△ABE∽△BCM，

∴，

∴AE＝BM，

∵∠EAG＝30°，AE⊥BP，

∴AE＝EG，

∴BM＝EG．