Question

【題目】如圖，已知：二次函數(shù)y=x2+bx+c 的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），與 y 軸交于點(diǎn) C（0，-3）在拋物線上．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn) P，求出當(dāng) PB+PC 最小時點(diǎn) P的坐標(biāo)；

（3）若拋物線上有一動點(diǎn)Q，使△ABQ的面積為6，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x２+2x-3；（2）點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（-1，-2）；（3）點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）．

【解析】

（1）根據(jù)題目中點(diǎn) A 和點(diǎn) C 的坐標(biāo)可以求得該拋物線的解析式；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象具有對稱性和兩點(diǎn)之間線段最短可以求得點(diǎn)P 的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)解析式可以求得點(diǎn) B 的坐標(biāo)，然后根據(jù)△ABQ 的面積為 6，可以求得點(diǎn)Q 的縱坐標(biāo)的絕對值，然后根據(jù)點(diǎn)Q 在拋物線上，即可求得點(diǎn) Q 的坐標(biāo)．

（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)C（0，-3），

∴，

得，

即拋物線的解析式為y=x2+2x-3；

（2）∵拋物線解析式為y=x2+2x-3=（x+1）2-4，如圖：

∴該拋物線的對稱軸為直線x=-1，

∵點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上的一動點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x=-1對稱，

∴點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離，

∵兩點(diǎn)之間線段最短，

∴連接點(diǎn)A和點(diǎn)C與直線x=-1的交點(diǎn)就是使得PB+PC最小時的點(diǎn)P，

設(shè)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)C（0，-3）的直線解析式為y=kx+m，

，得，

即直線AC的函數(shù)解析式為y=-x-3，

當(dāng)x=-1時，y=-（-1）-3=-2，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2）；

（3）∵拋物線解析式為y=x2+2x-3，

當(dāng)y=0時，x=-3或x=1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），

∴AB=1-（-3）=4，

∵拋物線上有一動點(diǎn)Q，使△ABQ的面積為6，

∴設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的絕對值為：=3，

當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3時，則3=x2+2x-3，得x1=-1+，x2=-1-，

當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-3時，則-3=x2+2x-3，得x3=0或x4=-2，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）．