Question

如圖，已知正方形ABCD的面積為2，連接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于點E，則DE=

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：過點E作EF⊥CD于F，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠BDC=45°，從而判斷出△DEF是等腰直角三角形，設(shè)AC、BD相交于點O，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得OE=EF，根據(jù)正方形的面積求出對角線BD，再求出OD，設(shè)DE=x，表示出OE=EF=DF，然后利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：如圖，過點E作EF⊥CD于F，
在正方形ABCD中，∠BDC=45°，
所以，△DEF是等腰直角三角形，
設(shè)AC、BD相交于點，
∵CE平分∠ACD，
∴OE=EF，
∵正方形ABCD的面積為2，
∴

1

2

BD²=2，
解得BD=2，
∴OD=

1

2

BD=

1

2

×2=1，
設(shè)DE=x，則OE=EF=DF=1-x，
在Rt△DEF中，EF²+DF²=ED²，
即（1-x）²+（1-x）²=x²，
整理得，x²-4x+2=0，
解得x₁=2-

2

，x₂=2+

2

（舍去），
所以，DE=2-

2

．
故答案為：2-

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．