Question

8．解方程$\sqrt{x+m}$+$\sqrt{x+n}$=7時，甲將題錯抄成$\sqrt{x-m}$+$\sqrt{x+n}$=7，結果解得有一個根是x=12；乙將題錯抄成$\sqrt{x+m}$+$\sqrt{x-n}$=7，結果解得有一個根是x=13，若兩人解題都正確，求整數(shù)m、n的值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{12-m}+\sqrt{12+n}=7}\\{\sqrt{13+m}+\sqrt{13-n}=7}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{12-m≥0}\\{13+m≥0}\end{array}\right.$，解得-13≤m≤12，得出0≤$\sqrt{12-m}$≤$\sqrt{25}$=5，且$\sqrt{12-m}$和$\sqrt{13+m}$同為整數(shù)的m只有3或-4，得出m=3或m=-4；把m的值分別代入$\sqrt{12-m}$+$\sqrt{12+n}$=7求出n的值即可．

解答 解：根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{12-m}+\sqrt{12+n}=7}\\{\sqrt{13+m}+\sqrt{13-n}=7}\end{array}\right.$，
需滿足：$\left\{\begin{array}{l}{12-m≥0}\\{13+m≥0}\end{array}\right.$，
解得：-13≤m≤12，
∴0≤$\sqrt{12-m}$≤$\sqrt{25}$=5，且$\sqrt{12-m}$和$\sqrt{13+m}$同為整數(shù)的m只有3或-4，
∴m=3或m=-4；
當m=3時，代入$\sqrt{12-m}$+$\sqrt{12+n}$=7得：n=4；
當m=-4時，代入$\sqrt{12-m}$+$\sqrt{12+n}$=7得：n=-3；
∴整數(shù)m、n的值為$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=-3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了無理方程、方程的解的運用、二次根式的非負性質；由題意得出m的值是解決問題的關鍵．