Question

8．已知△ABC中，∠A=30°．
（1）如圖①，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC=105°．
（2）如圖②，∠ABC、∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于O₁、O₂，則∠BO₂C=80°．
（3）如圖③，∠ABC、∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于O₁、O₂…O_n-1（內(nèi)部有n-1個(gè)點(diǎn)），求∠BO_n-1C（用n的代數(shù)式表示）．
（4）如圖③，已知∠ABC、∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于O₁、O₂…O_n-1，若∠BO_n-1C=60°，求n的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)三等分線的定義求得∠O₂BC+∠O₂CB，即可求出∠BO₂C．
（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)n等分線的定義求得∠O_n-1BC+∠O_n-1CB，即可求出∠BO_n-1C．
（4）依據(jù)（3）的結(jié)論即可求出n的值．

解答 解：∵∠BAC=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
（1）∵點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=75°，
∴∠BOC=105°；
（2）∵點(diǎn)O₂是∠ABC與∠ACB的三等分線的交點(diǎn)，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=100°，
∴∠BO₂C=80°；
（3）∵點(diǎn)O_n-1是∠ABC與∠ACB的n等分線的交點(diǎn)，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=$\frac{n-1}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{n-1}{n}$×150°，
∴∠BO_n-1C=180°-$\frac{n-1}{n}$×150°
（4）由（3）得：180°-$\frac{n-1}{n}$×150°=60°，
解得：n=5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．