Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸、y軸交于B、A兩點(diǎn)，OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且OB＞OA，以OA為一邊作如圖所示的正方形AOCD，CD交AB于點(diǎn)P．

（1）求直線AB的解析式；

（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似？若存在，求點(diǎn)Q坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由；

（3）設(shè)N是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4；（2）存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（﹣8，0）或（0，0）或（﹣3，0）或（﹣5，0）；（3）存在滿(mǎn)足條件的M點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，4+4）或（0，4﹣4）或（0，0）．

【解析】試題分析：（1）由方程可求得OA、OB的長(zhǎng)，則可求得的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式；
（2）設(shè)Q(x,0)，則CQ=|x+4|，分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)可分別得到關(guān)于的方程，則可求得的值，可求得點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)為菱形的邊時(shí)，則有可求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由圖形可知點(diǎn)即為所求，可求得點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：(1)解方程可得x=4或x=8，

∵OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且OB>OA，

∴OA=4，OB=8，

∴A(0,4),B(8,0)，

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，

∴ 解得

∴直線AB解析式為

(2)∵四邊形AOCD為正方形，

∴AD=CD=OC=OA=4，

∴C(4,0)，

在中，令x=4，可得y=2，

∴PC=PD=2，

設(shè)Q(x,0)，則CQ=|x+4|，

∵以P、C.Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似，

∴有△PCQ∽△PDA和△PCQ∽△ADP兩種情況，

①當(dāng)△PCQ∽△PDA時(shí),則有,即,解得x=0或x=8,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0)或(0,0)；

②當(dāng)△PCQ∽△ADP時(shí),則有即,解得x=3或x=5,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)或(5,0)；

綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為(8,0)或(0,0)或(3,0)或(5,0)；

(3)由題意可設(shè)M(0,y)，

∵A(0,4),C(4,0)，

∴

當(dāng)AC為菱形的一邊時(shí),則有AC=AM,即|y4|=,解得y=4±,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為或

當(dāng)AC為菱形的對(duì)角線時(shí),則有MA=MC,由題意可知此時(shí)M點(diǎn)即為O點(diǎn),此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)；

綜上可知存在滿(mǎn)足條件的M點(diǎn),其坐標(biāo)為或或(0,0).