Question

如圖所示，在正方形ABCD中，M是CD的中點(diǎn)，E是CD上一點(diǎn)，且∠BAE=2∠DAM．求證：AE=BC+CE．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)AB到F，使BF=CE，連接EF與BC相交于點(diǎn)N，利用“角角邊”證明△BFN和△CEN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BN=CN，EN=FN，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAN=∠DAM，然后求出∠BAN=∠EAN，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得AE=AF，從而得證．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)AB到F，使BF=CE，連接EF與BC相交于點(diǎn)N，
在△BFN和△CEN中，

∠FBN=∠C=90° ∠BNF=∠CNE BF=CE

，
∴△BFN≌△CEN（AAS），
∴BN=CN，EN=FN，
又∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴∠BAN=∠DAM，
∵∠BAE=2∠DAM，
∴∠BAN=∠EAN，
∴AN既是△AEF的角平分線也是中線，
∴AE=AF，
∵AF=AB+BF，
∴AE=BC+CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和全等三角形．