已知△ABC為邊長(zhǎng)為10的等邊三角形,D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn):

①如圖1,點(diǎn)E在AC上,且BD=CE,BE交AD于F,當(dāng)D點(diǎn)滑動(dòng)時(shí),∠AFE的大小是否變化?若不變,請(qǐng)求出其度數(shù).
②如圖2,過(guò)點(diǎn)D作∠ADG=60°與∠ACB的外角平分線交于G,當(dāng)點(diǎn)D在BC上滑動(dòng)時(shí),有下列兩個(gè)結(jié)論:①DC+CG的值為定值;②DG-CD的值為定值.其中有且只有一個(gè)是正確的,請(qǐng)你選擇正確的結(jié)論加以證明并求出其值.
分析:①∠AFE的大小不變,其度數(shù)為60°,理由如下:由三角形ABC為等邊三角形,得到三條邊相等,三個(gè)內(nèi)角相等,都為60°,可得出AB=BC,∠ABD=∠C,再由BD=CE,利用SAS可得出三角形ABD與三角形BCE全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出∠BAD=∠CBE,在三角形ABD中,由∠ABD為60°,得到∠BAD+∠ADB的度數(shù),等量代換可得出∠CBE+∠ADB的度數(shù),利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BFD的度數(shù),根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等可得出∠AFE=∠BFD,可得出∠AFE的度數(shù)不變;
②連接AG,如圖所示,由三角形ABC為等邊三角形,得出三條邊相等,三個(gè)內(nèi)角都相等,都為60°,再由CG為外角平分線,得出∠ACG也為60°,由∠ADG為60°,可得出A,D,C,G四點(diǎn)共圓,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得出∠DAG與∠DCG互補(bǔ),而∠DCG為120°,可得出∠DAG為60°,根據(jù)∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG=60°,利用等式的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAG,利用ASA可證明三角形ABD與三角形ACG全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BD=CG,由BC=BD+DC,等量代換可得出CG+CD=BC,而BC=10,即可得到DC+CG為定值10,得證.
解答:解:①∠AFE的大小不變,其度數(shù)為60°,理由為:
∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°,
在△ABD和△BCE中,
AB=BC
∠ABD=∠C
BD=CE

∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴∠BAD=∠CBE,
又∠BAD+∠ADB=120°,
∴∠CBE+∠ADB=120°,
∴∠BFD=60°,
則∠AFE=∠BFD=60°;
②正確的結(jié)論為:DC+CG的值為定值,理由如下:
連接AG,如圖2所示:

∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°,
又CG為∠ACB的外角平分線,
∴∠ACG=60°,
又∵∠ADG=60°,
∴∠ADG=∠ACG,即A,D,C,G四點(diǎn)共圓,
∴∠DAG+∠DCG=180°,又∠DCG=120°,
∴∠DAG=60°,即∠DAC+∠CAG=60°,
又∵∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠BAD=∠GAC,
在△ABD和△ACG中,
∠B=∠ACG=60°
AB=AC
∠BAD=∠CAG

∴△ABD≌△ACG(ASA),
∴DB=GC,又BC=10,
則BC=BD+DC=DC+CG=10,即DC+CG的值為定值.
點(diǎn)評(píng):此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),四點(diǎn)共圓的條件,以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),利用了等量代換及轉(zhuǎn)化的思想,熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向精英家教網(wǎng)勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),P,Q都停止運(yùn)動(dòng).
(1)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)2s時(shí),試判斷△BPQ的形狀,并說(shuō)明理由;那么此時(shí)PQ和AC的位置關(guān)系呢?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,△BPQ的面積為S,請(qǐng)用t的表達(dá)式表示S.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),P,Q都停止運(yùn)動(dòng).
(1)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)2s時(shí),試判斷△BPQ的形狀,并說(shuō)明理由;那么此時(shí)PQ和AC的位置關(guān)系呢?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,△BPQ的面積為S,請(qǐng)用t的表達(dá)式表示S.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知△ABC為邊長(zhǎng)為10的等邊三角形,D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn):

①如圖1,點(diǎn)E在AC上,且BD=CE,BE交AD于F,當(dāng)D點(diǎn)滑動(dòng)時(shí),∠AFE的大小是否變化?若不變,請(qǐng)求出其度數(shù).
②如圖2,過(guò)點(diǎn)D作∠ADG=60°與∠ACB的外角平分線交于G,當(dāng)點(diǎn)D在BC上滑動(dòng)時(shí),有下列兩個(gè)結(jié)論:①DC+CG的值為定值;②DG-CD的值為定值.其中有且只有一個(gè)是正確的,請(qǐng)你選擇正確的結(jié)論加以證明并求出其值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí),P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),解答下列問(wèn)題。

(1)當(dāng)t=2時(shí),判斷△BPQ的形狀,并說(shuō)明理由;

(2)設(shè)△BPQ的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)作QR∥BA交AC于點(diǎn)R,連接PR,當(dāng)t為何值時(shí),△APR∽△PRQ?

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