【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P在邊AB上,點(diǎn)D、Q分別為邊BC上的點(diǎn),線段AD的延長線與線段PQ的延長線交于點(diǎn)F,連接CP交AF于點(diǎn)E,若∠BPF=∠APC,FD=FQ.
(1)如圖1,求證:AF⊥CP;
(2)如圖2,作∠AFP的平分線FM交AB于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,若FN=MN,求證:;
(3)在(2)的條件下,連接DM、MQ,分別交PC于點(diǎn)G、H,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)由∠APC=∠BPQ,得∠ACP=∠PQB,由∠FDQ=∠CDA,∠FQD=∠PQB,推出∠ACP=∠CDA,由∠ACP=∠CDA,推出CP⊥AF;
(2)作WB⊥BC,交CP延長線于點(diǎn)W,由△ACD≌△CBW,QBPWBP,得出CD=QB,由FM平分∠DFQ,DF=FQ,,得到 ND=NQ,F(xiàn)N⊥BC,
由MN=FN=,得到 DN=DC,由DN=NQ,得到DQ=BC;
(3)易證四邊形DFQM是平行四邊形,進(jìn)而得△EDG~△HQP,即可求解.
(1)∵∠APC=∠BPQ,∠A=∠B,∠APC+∠A+∠ACP=∠BPQ+∠B+∠PQB=180°,
∴∠ACP=∠PQB,
∵FD=FQ,
∴∠FQD=∠FDQ,
又∵∠FDQ=∠CDA, ∠FQD=∠PQB,
∴∠CDA=∠PQB,
∴∠ACP=∠CDA,
∴∠CDA +∠BCP =∠ACP+∠BCP=∠ACB=90°,
∴AF⊥CP;
(2)作WB⊥BC,交CP延長線于點(diǎn)W,
∵∠ABC=∠PBW=45°,PB=PB,∠BPF=∠APC=∠BPW,
∴QBPWBP(ASA),
∴BQ=BW,
∵∠BCP+∠ACP=∠ACP+∠CAD=90°,
∴∠BCP=∠CAD,
∵AC=BC,∠ACD=∠CBW=90°,
∴ACDCBW(ASA),
∴CD=BW,
∴BQ= CD,
∵FM平分∠DFQ,DF=FQ,
∴ ND=NQ,F(xiàn)N⊥BC,
∴FN∥AC,
∵CD+DN=BQ+QN,
∴CN=BN,
∴MN是BAC的中位線,
∴MN=FN=,
∴,即:DN=,
∴DN=NQ==,
∴DQ= CD=BQ,
∴DQ=BC;
(3)∵DN=NQ,MN=FN,
∴四邊形DFQM是平行四邊形,
∴AF∥MQ,DM∥FP,
∴∠EGD=∠HPQ,∠DEG=∠QHP=90°,
∴△EDG~△HQP ,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不點(diǎn)B,C重合),過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長.
②連接PB,PC,求△PBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)設(shè)拋物線的對稱軸與BC交于點(diǎn)E,點(diǎn)M是拋物線的對稱軸上一點(diǎn),N為y軸上一點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N,使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?如果存在,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)落在射線上,點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)落在射線上,點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)落在射線上….連接,依此做法,則=________,=________(用含的代數(shù)式表示,為正整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】鄂北公司以10元/千克的價(jià)格收購一批產(chǎn)品進(jìn)行銷售,為了得到日銷售量y(千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)之間的關(guān)系,經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:
銷售價(jià)格x(元/千克) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
日銷售量y(千克) | 300 | 225 | 150 | 75 | 0 |
(1)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)確定y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)鄂北公司應(yīng)該如何確定這批產(chǎn)品的銷售價(jià)格,才能使日銷售利潤W1元最大?
(3)若鄂北公司每銷售1千克這種產(chǎn)品需支出a元(a>0)的相關(guān)費(fèi)用,當(dāng)20≤x≤25時(shí),鄂北公司的日獲利W2元的最大值為1215元,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】外線投資是籃球隊(duì)常規(guī)訓(xùn)練的重要項(xiàng)目之一,下列圖表中數(shù)據(jù)是甲乙丙三從每從十次投籃測試的成績,測試規(guī)則為連續(xù)投籃十個(gè)球?yàn)橐淮,投進(jìn)籃筐一個(gè)球記為1分.
(1)寫出運(yùn)動(dòng)員乙測試成績的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)在他們?nèi)龔闹羞x擇一位投籃成績優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的選手作為中鋒,你認(rèn)為選誰更合適?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)盒子中裝有2個(gè)紅球,1個(gè)白球和1個(gè)藍(lán)球,這些球除顏色外都相同,小明和小凡準(zhǔn)備用這些球做游戲,游戲規(guī)則如下:從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球,若兩次摸到的球的顏色都是紅色,小明勝;若兩次摸到的球的顏色能配成紫色,則小凡勝,這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=3cm,BC=4cm,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),且CE=1cm.點(diǎn)P由點(diǎn)C出發(fā),沿CD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā),沿AD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng),速度為cm/s,點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),PQ交BD于F,連接PE,QB,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<3).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),PE∥BD?
(2)設(shè)△FQD的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使得四邊形BQPE的周長最。舸嬖冢蟪龃怂倪呅BQPE的面積;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)、、分別為坐標(biāo)軸上的三個(gè)點(diǎn),且,,.
(1)求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線的上方,連接、,并把沿翻折,得到四邊形,那么是否存在點(diǎn),使四邊形為菱形?若存在,請求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,過拋物線頂點(diǎn)作直線軸,交軸于點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上、兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與、兩點(diǎn)重合),直線、與直線分別交于點(diǎn)、,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),連接PA、PD.則PA+PD的最小值為( )
A.B.C.D.3
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