Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO為梯形，C在x軸上，AB∥OC，OB⊥BC，點B的坐標是（

32

5

，

24

5

），點D為OC的中點．
（1）求點D的坐標；
（2）若點P從點O出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿線段OB向終點B運動．過點P作OB的垂線，交x軸于點E，交射線BD于點F，設(shè)點P運動時間為t秒，EF的長為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接CF，是否存在這樣的t值，使∠ECF=

1

2

∠AOB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得OB²，BC²，OC²，再根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得D點坐標；
（2）分類討論：當0＜t＜1時，②當1＜t＜2時，根據(jù)像三角形的性質(zhì)，可得y與t的關(guān)系式；
（3）根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠AOB=∠C，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得FB與FE的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CE的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）如圖1，做BE⊥OC于E點．
，
設(shè)C（a，0），由勾股定理，得
OB²=OE²+OB²=（

32

5

）²+（

24

5

）²，
BC²=CE²+BE²=（a-

32

5

）²+（

24

5

）²，
OC²=OB²+BC²，即（

32

5

）²+（

24

5

）²+（a-

32

5

）²+（

24

5

）²=a²，
化簡，得

64

5

a=128，
解得a=10，即C（10，0）；
由點D為OC的中點，得D（5，0）；
（2）設(shè)E點坐標為（a，0），
①當0＜t＜1時，如圖2：
，
由△OPE∽△OBC，得

4t

8

=

a

10

，解得a=5t，
由△DEF∽△DCB，得

5-5t

10-5

=

y

6

，即y=-6t+6，（0＜t＜1）；
②當1＜t＜2時，如圖3：

由△OPE∽△OBC，得

4t

8

=

a

10

，解得a=5t，
由△DEF∽△DCB，得

5t-5

10-5

=

y

6

，即y=6t-6，（1＜t＜2）；
（3）存在這樣的t值，使∠ECF=

1

2

∠AOB，理由如下：
如圖4：

作FE⊥OC與E點，
由∠C+∠BOC=90°，∠BOC+∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠C，
由∠ECF=

1

2

∠AOB，得∠ECF=

1

2

∠C，
∴FE=FB．
在Rt△FEC和RT△FBC中，

FE=FB CF=CF

，
Rt△FEC≌RT△FBC（HL），
CE=BC=6（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
OE=4，
由△OPE∽△OBC，得

OP

OB

=

OE

OC

，即

4t

8

=

4

10

，
解得t=

4

5

．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，（1）利用了勾股定理，線段中點的性質(zhì)；（2）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵；（3）利用了余角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)．