Question

如圖，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求證：DE=DF．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：連接AC，交BD于點O，作EG⊥BD于點G，則可知四邊形AOGE是矩形，可證得EG=

1

2

BD=

1

2

BE，所以∠EBD=30°，結(jié)合條件可求得∠BED=75°，∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，故∠DEF=∠DFE，即可得到DF=DE．

解答：證明：連接AC，交BD于點O，作EG⊥BD于點G．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵AE∥BD，
∴四邊形AOGE是矩形，
∴EG=AO=

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2

AC=

1

2

BD=

1

2

BE，
∴∠EBD=30°，
∵∠EBD=30°，BE=BD，
∴∠BED=75°，
∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE．

點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線求得∠EBD=30°．