Question

如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，BE=DF，連接E、F，若E、F分別是CB、CD的中點，△AEF為等邊三角形．求證：AE垂直平分BC．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：首先連接AC，再根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上可得AC是EF的中垂線，進而得到A、E、C、F四點共圓，根據(jù)直徑所對的角是直角可得∠AEC=∠AFC=90°，進而得到AE垂直平分BC．

解答：證明：連接AC，交于G，
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE=AF，
∴點A在EF的垂直平分線上，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∵E、F分別是CB、CD的中點，
∴EC=FC，
∴C在EF的垂直平分線上，
∴AC是EF的中垂線，
∴A、E、C、F四點共圓，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴AE垂直平分BC．

點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及四點共圓，關(guān)鍵是正確判斷出AC是EF的中垂線．