Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF=

1

2

（AD+BC）．求證：AD∥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形中位線定理

專題：證明題

分析：取BD的中點(diǎn)H，連接EH、FH，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH=

1

2

AD，EH∥AD，F(xiàn)H=

1

2

BC，F(xiàn)H∥BC，然后求出EH+FH=EF，從而得到E、F、H三點(diǎn)共線，再根據(jù)平行公理可得AD∥BC．

解答：證明：取BD的中點(diǎn)H，連接EH、FH，
∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴EH是△ABD的中位線，F(xiàn)H是△BCD的中位線，
∴EH=

1

2

AD，EH∥AD，F(xiàn)H=

1

2

BC，F(xiàn)H∥BC，
∴EF+FH=

1

2

（AD+BC），
∵EF=

1

2

（AD+BC），
∴EH+FH=EF，
∴E、F、H三點(diǎn)共線，
∴AD∥EF∥BC，
故AD∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的中位線的證明，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵．