Question

如圖，C為以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，AC=5，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點(diǎn)；
（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答：（1）證明：連結(jié)OC（如圖所示），
則∠ACO=∠CAO （等腰三角形，兩底角相等），
∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO．
∴∠DAC=∠ACO （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠BAD．


（2）過(guò)點(diǎn)E畫OE⊥AC于E（如圖所示），
在Rt△ADC中，AD=

(3- 5 )2

=6，
∵OE⊥AC，∴AE=

1

2

，AC=

3 5

2

，
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠，
∴△AEO∽△ADC，
∴

AD

AE

=

AC

AO

，即：

6

3 5 2

=

3 5

AO

，
   
∴AO=

15

4

，即⊙O的半徑為

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時(shí) 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問(wèn)題．