Question

如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為斜邊并且在AB的同一側(cè)作等腰直角△ACD和△BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N．給出以下四個結(jié)論：①MN∥AB；②；③．④AB=2MN；其中正確的結(jié)論有________（填寫序號即可）

Answer 1

①②③
分析：（1）用平行線分線段成比例定理；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，化簡分式可得；
（3）要利用二次函數(shù)最值即可求解．
（4）根據(jù)③直接得出MN≠AB．
解答：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，
∴②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴，
∴MN∥AB；
（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴，
設(shè) =k，
則CN=kNE，DN=kNB，
∵M(jìn)N∥AB，
∴△EMN∽△EAC，
∴==，
==，
∴+=1，
∴=+；
（3）∵=+，
∴MN==，
設(shè)AB=a（常數(shù)），AC=x，
則MN=x（a-x）=-（x-a）²+a≤a；
（4）由③得出MN≠AB，故④錯誤．
故答案為：①②③．
點評：此題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、比例變形及二次函數(shù)的應(yīng)用，綜合性比較強．