Question

如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=，

（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論；
（2）求⊙O的周長(zhǎng)

Answer 1

（1）見解析（1）4π

試題分析：利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀（2）由三角形內(nèi)角和得∠ABC=60°，所以△ABC是等邊三角形，作OE⊥AC，連接OA，由垂徑定理得，AE=CE=AC=cm，再由余弦的概念求得半徑OA的長(zhǎng)，由圓的周長(zhǎng)公式求得周長(zhǎng)．
解：（1）△ABC為等邊三角形證明如下：
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所對(duì)的圓周角
∴∠BAC=∠BDC
∵∠ACB=∠BDC=60° ∴∠BAC =∠ACB =60°
∴△ABC為等邊三角形……………………3分
（2）過O點(diǎn)作OE⊥AC于E點(diǎn)，連接OA
∵AC= ∴AE=CE=
∵△ABC為等邊三角形
∴∠OAE=∠BAC=30°  設(shè)OE=x，則OA=2x,
在Rt△OAE中，有，解之得x=1
∴OA=2  即⊙O的周長(zhǎng)=2×2×π=4πcm
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理．同弧所對(duì)的圓周角相等，并且等于它所對(duì)的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定方法．本題利用了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，余弦的概念，圓周長(zhǎng)公式求解．