Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是A(1，3)，將OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到OB，點(diǎn)B恰好在拋物線上，OB與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是線段AC上一動點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，C重合，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線，與的邊分別交于M，N兩點(diǎn)，將以直線MN為對稱軸翻折，得到．

設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m．

①當(dāng)在內(nèi)部時，求m的取值范圍；

②是否存在點(diǎn)P，使,若存在，求出滿足m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】；（2）①；②存在，滿足m的值為或．

【解析】

（1）作AD⊥y軸于點(diǎn)D，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，然后證明△AOD≌△BOE，則AD=BE，OD=OE，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；

（2）①由點(diǎn)P為線段AC上的動點(diǎn)，則討論動點(diǎn)的位置是解題的突破口，有點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時；點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，兩種情況進(jìn)行分析計(jì)算，即可得到答案；

②根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上，點(diǎn)N在AB上時；當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上，點(diǎn)N在AB上時；先求出直線OA和直線AB的解析式，然后利用m的式子表示出兩個三角形的面積，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，解方程即可求出m的值．

解：（1）如圖：作AD⊥y軸于點(diǎn)D，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，

∴∠ADO=∠BEO=90°，

∵將OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到OB，

∴OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠BOE，

∴△AOD≌△BOE，

∴AD=BE，OD=OE，

∵頂點(diǎn)A為（1，3），

∴AD=BE=1，OD=OE=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），

設(shè)拋物線的解析式為，

把點(diǎn)B代入，得

，

∴，

∴拋物線的解析式為，

即；

（2）①∵P是線段AC上一動點(diǎn)，

∴，

∵當(dāng)在內(nèi)部時，

當(dāng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)C重合時，如圖：

∵點(diǎn)B為（3，），

∴直線OB的解析式為，

令，則，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，），

∴AC=，

∵P為AC的中點(diǎn)，

∴AP=，

∴，

∴m的取值范圍是；

②當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上，點(diǎn)N在AB上時，如圖：

∵點(diǎn)P在線段AC上，則點(diǎn)P為（1，m），

∵點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于MN對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2m3），

∴，，

設(shè)直接OA為，直線AB為，

分別把點(diǎn)A，點(diǎn)B代入計(jì)算，得

直接OA為；直線AB為，

令，

則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，

∴；

∵；

；

又∵，

∴，

解得：或（舍去）；

當(dāng)點(diǎn)M在邊OB上，點(diǎn)N在邊AB上時，如圖：

把代入，則，

∴，，

∴，

，

∵，

∴，

解得：或（舍去）；

綜合上述，m的值為：或．