Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（﹣1，0）和點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D

（Ⅰ）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）連接CP，△DCP是什么特殊形狀的三角形？并加以說明；

（Ⅲ）點(diǎn)Q是第一象限的拋物線上一點(diǎn)，且滿足∠QEO=∠BEO，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）二次函數(shù)解析式為y=x2﹣x﹣；（Ⅱ）△DCP是等腰直角三角形，理由見解析；（Ⅲ）點(diǎn)Q坐標(biāo)為（5，6）．

【解析】

（Ⅰ）把A（-3，6），B（-1，0）代入y=x2+bx+c，解方程組即可解決問題．

（Ⅱ）結(jié)論：△DCP是等腰直角三角形．求出C、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．

（Ⅲ）如圖，連接BE、DE．只要證明△EOB≌△EOD，得到∠DEO=∠BEO，所以直線DE與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q．求出直線DE的解析式，解方程組即可．

（Ⅰ）把A（﹣3，6），B（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，

得到，

解得，

∴二次函數(shù)解析式為y=x2﹣x﹣．

（Ⅱ）結(jié)論：△DCP是等腰直角三角形．

理由：對(duì)于拋物線y=x2﹣x﹣，令y=0，則x2﹣x﹣=0，解得x=﹣1或3，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（3，0），

令x=0則y=﹣，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（0，﹣），

∵y=x2﹣x﹣=（x﹣1）2﹣2，

∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)（1，﹣2），點(diǎn)D坐標(biāo)（1，0），

∴CD=PD=2，

∵∠PDC=90°，

∴△PDC是等腰直角三角形．

（Ⅲ）如圖，連接BE、DE．

∵B（﹣1，0），D（1，0），E（0，﹣），

∴OB=OD，OE=OE，∠BOE=∠DOE，

∴△EOB≌△EOD，

∴∠DEO=∠BEO，

∴直線DE與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q．

設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，則有，

解得，

∴直線DE的解析式為y=，

由解得或，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（5，6）．