Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，過作于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，．

（1）若，，求的長；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見解析．

【解析】

（1）過H作HP⊥AD交AD于點(diǎn)P，在Rt△PGH中求出PH，在Rt△APH中利用正切求出AP，再利用勾股定理求AH，即可得AF的長；

（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)K，交AE于點(diǎn)，易得四邊形AFKG為平行四邊形，得到，然后證明∠AMH=45°=∠GCK，，可證≌，得GC=AM，利用等量代換即可求證結(jié)論．

（1）如圖，過H作HP⊥AD交AD于點(diǎn)P，

∵在平行四邊形中，AD∥BC，∠GCF=45°

∴∠PGH=45°

在Rt△PGH中，GH=4，

∴PH=

在Rt△APH中，

∴

又∵

∴

（2）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)K，交AE于點(diǎn)．

∵AG∥FK，AF∥GK

∴四邊形AFKG為平行四邊形

∴

由（1）可知∠HGM=45°，

∵HM⊥GH，

∴∠AMH=45°=∠GCK

又∵AF∥GK

∴

∵，

∴

在△GKC和△AHM中，

∵∠GCK=∠AMH，∠CGK=∠MAH，GK=AH，

∴≌（AAS）

∴GC=AM

又∵在等腰Rt△GHM中，GM=GH

∴AM=AG+GM=AG+GH

∴