Question

18．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且FE⊥BE，設(shè)BD與EF交于點(diǎn)G，則△DEG的面積是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)G作GM⊥AD于M，如圖，先證明△ABE∽△DEF，利用相似比計(jì)算出DF=$\frac{1}{2}$，再利用正方形的性質(zhì)判斷△DGM為等腰直角三角形得到DM=MG，設(shè)DM=x，則MG=x，EM=1-x，然后證明△EMG∽△EDF，則利用相似比可計(jì)算出GM，再利用三角形面積公式計(jì)算S_△DEG即可．

解答 解：過點(diǎn)G作GM⊥AD于M，如圖，
∵FE⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
而∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
而∠A=∠EDF，
∴△ABE∽△DEF，
∴AB：DE=AE：DF，即2：1=1：DF，
∴DF=$\frac{1}{2}$，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADB=45°，
∴△DGM為等腰直角三角形，
∴DM=MG，
設(shè)DM=x，則MG=x，EM=1-x，
∵M(jìn)G∥DF，
∴△EMG∽△EDF，
∴MG：DF=EM：ED，即x：$\frac{1}{2}$=（1-x）：1，解得x=$\frac{1}{3}$，
∴S_△DEG=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$．
故答案為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．熟練運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長．