Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，高AD和BE相交于點(diǎn)H，且AH=2BD，求證：AE=BE．

Answer 1

分析 △ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，則BC=2BD，結(jié)合AH=2BD，得到BC=AH，又BE是高，所以，∠AEH=∠BEC=90°，∠HAE+∠AHE=∠DAC+∠C，所以，∠AHE=∠C，所以，△AHE≌△BCE，則AE=BE．

解答 證明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，AD是底邊上的高，
∴BC=2BD，
∵AH=2BD，
∴BC=AH，
又∵BE是高，
∴∠AEH=∠ADC=90°，
則∠DAC+∠AHE=∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠C，
在△AHE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠C}\\{BC=AH}\\{∠AEH=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△BCE（AAS），
∴AE=BE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，證明兩個(gè)三角形全等，是證明線段或角相等的重要工具；在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．