Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=﹣x2+bx+c對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且△DMB和△BCE相似，求點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，3）

∴ ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）

（2）

解：由（1）可知拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)C（0，3）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

∴點(diǎn)E（2，3），

過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，

∵OC=OB=3，

∴BC= ，

∵ ，CE=2，

∴ ，

解得EH= ，

∵∠ECH=∠CBO=45°，

∴CH=EH= ，

∴BH=2 ，

∴在Rt△BEH中，

（3）

解：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)

設(shè)M（1，m），對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，則P（1，0），

∴BP=2，DP=4，

∴ ，

∵ ，∠CBE、∠BDP均為銳角，

∴∠CBE=∠BDP，

∵△DMB與△BEC相似，

∴ 或 ，

① ，

∵DM=4﹣m， ， ，

∴ ，

解得， ，

∴點(diǎn)M（1， ）

② ，則 ，

解得m=﹣2，

∴點(diǎn)M（1，﹣2），

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，根據(jù)題意知點(diǎn)M不存在．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1， ）或（1，﹣2）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求出EH、BH，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可；（3）分 和 兩種情況，計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)，以及對(duì)二次函數(shù)的圖象的理解，了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．