Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一點(diǎn)，CD=3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.連結(jié)AP.

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，求AP的長度(結(jié)果保留根號(hào))；

（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值；

（3）過點(diǎn)D做DE⊥AP于點(diǎn)E.在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，能使DE=CD？

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）t=或16或5；（3）t=5或11.

【解析】

（1）根據(jù)t=3求出BP的長度，進(jìn)而得到CP的長度，根據(jù)勾股定理即可得出答案；

（2）分三種情況進(jìn)行討論：①若BA=BP②若AB=AP③若PA=PB分別計(jì)算即可得出答案；

（3）分情況進(jìn)行討論：①若P在C點(diǎn)的左側(cè)②若P在C點(diǎn)的右側(cè)，根據(jù)勾股定理即可得出答案.

（1）當(dāng)t=3時(shí)，BP=6，則CP=10

又∵AC=8

∴AP===

（2）∵BC=16，AC=8

∴BA=

①若BA=BP，則 ；

②若AB=AP，則CP=，BP=32，t=16；

③若PA=PB，則BP=AP=2t，CP=16-2t

在直角三角形ACP中，

，解得：t=5

綜上所述：t=或16或5.

（3）分類討論

∵DE=CD=3，AD=AC-CD=8-3=5

∴AE=4

①若P在C點(diǎn)的左側(cè)，則BP=2t

∴CP=16-2t.

又DE=DC且∠DEP=∠DCP=90°

∴D在∠EPC的角平分線上故PE=PC=16-2t

∴AP=PE+AE=20-2t

則

解得t=5

②若P在C點(diǎn)的右側(cè)，則BP=2t

∴CP=2t-16

又DE=DC且∠DEP=∠DCP=90°

∴D在∠EPC的角平分線上故PE=PC=2t-16

∴AP= PE+AE=2t-12

解得t=11

綜上所述：t=5或11.