Question

9．如圖1，在直角坐標系中，點B（a，b）在第一象限，且$\sqrt{a-4}$+b²-8b+16=0，過B作x軸，y軸的垂線分別交于A、C．

（1）求B的坐標和四邊形OABC的面積．
（2）直線y=2x+8交x軸于E，交y軸于F，它沿x軸正方向以每秒移動1個單位的速度，設(shè)平移的時間為t秒，問是否存在t的值，使直線EF平分四邊形OABC的面積？若存在，求t的值；若不存在，說明理由．
（3）如圖2，P為正方形OABC的多角線AC上的點（端點A，C除外），PM⊥PO，交直線AB于M，問$\frac{PC}{BM}$的值是否不變？請給出結(jié)論，予以證明并求其值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段的中點坐標求法求解．
（2）E點的坐標為（-4，0），當(dāng)直線EF平移到過D點時正好平分正方形AOBC的面積，設(shè)平移后的直線為y=2x+b，代入D點坐標，求得b=-2．可知平移的距離為5，所以t=5；
（3）過P點作NQ∥OA，GH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，易證△OPH≌△MPQ，四邊形CNPG為正方形．可知PG=BQ=CN，即可求得$\frac{PC}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）∵且$\sqrt{a-4}$+b²-8b+16=$\sqrt{a-4}$+（b-4）²=0，
∴a-4=0，且b-4=0，
即a=4，b=4．
點B的坐標為（4，4）．
∴OA=AB=BC=CO=4，
∴四邊形OABC的面積S=OA•AB=4×4=16．
（2）當(dāng)y=0時，x=-4，
∴E點的坐標為（-4，0）．
當(dāng)直線EF平移到過D點時正好平分正方形AOBC的面積．
設(shè)平移后的直線為y=2x+b，代入D點坐標，求得b=-2．
此時直線和x軸的交點坐標為（1，0），平移的距離為5，所以t=5秒． 
（3）過P點作NQ∥OA，GH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，
在△OPH與△MPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=PM}\\{PH=PQ}\end{array}\right.$，
∴△OPH≌△MPQ，四邊形CNPG為正方形．
∴PG=BQ=CN．
∴$CP=\sqrt{2}PG=\frac{\sqrt{2}}{2}PM$，即$\frac{PC}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．