Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，4）B（m，n）（m＞2），D（1，q）（q＜n），點B、D在直線y=$\frac{1}{2}$x+1上，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E．且AB∥CD，點C在x軸上，BE=DE．求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 先由△ABE≌△CDE證明四邊形ABCD是平行四邊形，再求出點B、點C坐標，求出CD、AD的長度即可解決問題．

解答 解：∵點D（1，q）在直線y=$\frac{1}{2}$x+1上，
∴q=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
∴點D坐標（1，$\frac{3}{2}$），
∴AD=$\frac{5}{2}$，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE，
在△ABE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DCE}\\{∠AEB=∠DEC}\\{EB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDE，
∴AE=EC，AD=BC=$\frac{5}{2}$，
∵DE=BE，AE=EC，
∴四邊形ADCB是平行四邊形，
∴BC∥AD，
∴點B坐標（3，$\frac{5}{2}$），點C坐標（3，0），
∴CD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴AD=CD，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，求出點B、點C的坐標，屬于中考�？碱}型．