【題目】【操作發(fā)現(xiàn)】如圖 1,△ABC 為等邊三角形,點(diǎn) D 為 AB 邊上的一點(diǎn),∠DCE=30°,將線段 CD 繞點(diǎn) C 順時針旋轉(zhuǎn) 60°得到線段 CF,連接 AF、EF. 請直接 寫出下列結(jié)果:
① ∠EAF的度數(shù)為__________;
② DE與EF之間的數(shù)量關(guān)系為__________;
【類比探究】如圖 2,△ABC 為等腰直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn) D 為 AB 邊上的一點(diǎn)∠DCE=45°,將線段 CD 繞點(diǎn) C 順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段 CF,連接 AF、EF.
①則∠EAF的度數(shù)為__________;
② 線段 AE,ED,DB 之間有什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
【實(shí)際應(yīng)用】如圖 3,△ABC 是一個三角形的余料.小張同學(xué)量得∠ACB=120°,AC=BC, 他在邊 BC 上取了 D、E 兩點(diǎn),并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°,這樣 CD、CE 將△
ABC 分成三個小三角形,請求△BCD、△DCE、△ACE 這三個三角形的面積之比.
【答案】 120° DE=EF 90°
【解析】試題分析:(1)①由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出∠ACF=∠BCD,證明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②證出∠DCE=∠FCE,由SAS證明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;
(2)①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,證出∠ACF=∠BCD,由SAS證明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②證出∠DCE=∠FCE,由SAS證明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出結(jié)論.
(3)把△BCD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF,則可得△ACF≌△BCD,△FCE≌△DEC,得到AF=BD,EF=ED,△AEF是含30°角的直角三角形,S△BCD:S△DCE:S△ACE=BD:ED:AE= AF:EF:AE,即可得到答案.
試題解析:解:(1)①∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°.∵∠DCF=60°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中, ,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=60°,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②DE=EF.理由如下:
∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE=60°﹣30°=30°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE中, ,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF;
(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°.∵∠DCF=90°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中, ,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②AE2+DB2=DE2,理由如下:
∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,∴∠FCE=90°﹣45°=45°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE中, ,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2.又∵AF=DB,∴AE2+DB2=DE2.
(3)【實(shí)際應(yīng)用】把△BCD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF,則△ACF≌△BCD.∵∠ACB=120°,AC=BC ,∴∠B=∠C=30°,∴∠CDE=∠B+∠BCD=30°+15°=45°,∴∠CDB=180°-45°=135°.∵△ACF≌△BCD,∴AE=DB,FC=DC,∠FCA=∠BCD=15°,∠FAC=∠B=30°,∠ACF=∠BDC=135°,∴∠FCE=∠ECD=60°.∵FC=DC,EC=EC,∴△FCE≌△DEC,∴EF=ED,∠CFE=∠CDE=45°,∴∠AFE=135°-45°=90°.∵∠FAE=30°+30°=60°,∴∠AEF=30°,∴AF:EF:AE=1: :2,∴S△BCD:S△DCE:S△ACE=BD:ED:AE= AF:EF:AE=1: :2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某校初一(2)班組織學(xué)生從A地到B地步行野營,勻速前進(jìn),該班師生共56人,每8人排成一排,相鄰兩排之間間隔1米,途中經(jīng)過一座橋CD,隊(duì)伍從開始上橋到剛好完全離開橋共用了150秒,當(dāng)隊(duì)尾剛好走到橋的一端D處時,排在隊(duì)尾的游班長發(fā)現(xiàn)小蔣還在橋的另一端C處拍照,于是以隊(duì)伍1.5倍的速度返回去找小萍,同時隊(duì)伍仍按原速度繼續(xù)前行,30秒后,小蔣發(fā)現(xiàn)游班長返回來找他,便立刻以2.1米/秒的速度向游班長方向行進(jìn),小蔣行進(jìn)40秒后與游班長相遇,相遇后兩人以隊(duì)伍2倍的速度前行追趕隊(duì)伍.
(1)初一(2)班的隊(duì)伍長度為 米;
(2)求班級隊(duì)伍行進(jìn)的速度(列一元一次方程解決問題);
(3)請問:游班長從D處返回趙小萍開始到他們兩人追上隊(duì)首的劉老師一共用了多少時間?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,E 為 BC 上一點(diǎn),以 CE 為直徑作⊙O 恰好經(jīng)過 A、C 兩點(diǎn), PF⊥BC 交 BC 于點(diǎn) G,交 AC 于點(diǎn) F.
(1)求證:AB 是⊙O 的切線;
(2)如果 CF =2,CP =3,求⊙O 的直徑 EC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在□ABCD 中,∠ADB=90°,點(diǎn) E 為 AB 邊的中點(diǎn),點(diǎn) F 為CD 邊的中點(diǎn).
(1)求證:四邊形 DEBF 是菱形;
(2)當(dāng)∠A 等于多少度時,四邊形 DEBF 是正方形?并說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使∠AOC=60°,將一直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)求∠CON的度數(shù);
(2)如圖2是將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周的情況.在旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)?shù)?/span>t秒時,三條射線OA、OC、OM構(gòu)成相等的角,求此時t的值;
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部時,請?zhí)骄俊?/span>AOM與∠CON的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)(k為常數(shù),k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3).
(1)求這個函數(shù)的解析式;
(2)判斷點(diǎn)B(-1,6),C(3,2)是否在這個函數(shù)的圖象上,并說明理由;
(3)當(dāng)-3<x<-1時,求y的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】老師在黑板上出了一道解方程的題,小明馬上舉手,要求到黑板上做,他是這樣做的:
……………… …①
…………………… …②
…………………… …③
………………………………… ④
………………………………… ⑤
老師說:小明解一元一次方程的一般步驟都知道卻沒有掌握好,因此解題時有一步出現(xiàn)了錯誤,請你指出他錯在 (填編號);
然后,你自己細(xì)心地解下面的方程:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)對全校1200名學(xué)生進(jìn)行“校園安全知識”的教育活動,從1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測試,成績評定按從高分到低分排列分為, , , 四個等級,繪制了圖①、圖②兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:
(1)求本次被抽查的學(xué)生共有多少名?
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“”所在的扇形圓心角的度數(shù);
(4)估計(jì)全!”等級的學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,D、E是BC邊上的點(diǎn),BD:DE:EC=3:2:1,M在AC邊上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,則BH:HG:GM等于( 。
A. 3:2:1 B. 5:3:1 C. 25:12:5 D. 51:24:10
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