Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，點(diǎn)D是拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得以A、P、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3．（2）當(dāng)t＝時(shí)，△BCM的面積最大．此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．（3）存在點(diǎn)E使得以A、P、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)E的坐標(biāo)是或（）或（）．

【解析】

（1）由y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，A（﹣1，0）、B（3，0），利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，再設(shè)P（t，﹣t+3），即可得M點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），即可求得PM的長(zhǎng)，由S△BCM＝S△PMC+S△PMB，即可得S△BMC＝﹣（t﹣）2+，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)由于此題沒(méi)有說(shuō)明四邊形的頂點(diǎn)順序故需分類討論：①當(dāng)四邊形APDE為平行四邊形時(shí)，利用xA﹣xP＝xE﹣xD即可求出xE的值，代入二次函數(shù)解析式即可；②當(dāng)四邊形APED為平行四邊形時(shí)，同理；③當(dāng)四邊形ADPE為平行四邊形時(shí)，此時(shí)xA+xP＝xD+xE即可求出xE的值，代入二次函數(shù)解析式即可.

解：（1）依題意得：，

解得：，

拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，

解得：，直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，﹣t+3），則M點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），

∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，

∴S△BCM＝S△PMC+S△PMB＝＝，

∴當(dāng)t＝時(shí)，△BCM的面積最大．此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

（3））∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴對(duì)稱軸為直線x＝1，

當(dāng)四邊形APDE為平行四邊形時(shí)，

AP∥ED，AP＝ED，

∵A（﹣1，0），P（），

∴xA﹣xP＝xE﹣xD＝﹣1﹣，

∵xD＝1，

∴xE＝﹣，

∴E（，）；

當(dāng)四邊形APED為平行四邊形時(shí)，

AP∥DE，AP＝DE，

∴xA﹣xP＝xD﹣xE＝﹣1﹣，

∵xD＝1，

∴xE＝，

∴E（，﹣）；

當(dāng)四邊形ADPE為平行四邊形時(shí)，

AE∥DP，AE＝DP，

∴xA+xP＝xD+xE＝﹣1+，

∵xD＝1，

∴xE＝﹣，

∴E（﹣，）；

存在點(diǎn)E使得以A、P、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（，）或（，﹣）或（﹣，）．