如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,BC的延長(zhǎng)線于⊙O的切線AF交于點(diǎn)F.
(1)求證:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)首先連接BD,由AB為直徑,可得∠ADB=90°,又由AF是⊙O的切線,易證得∠CAF=∠ABD.然后由BA=BC,證得:∠ABC=2∠CAF;
(2)首先連接AE,設(shè)CE=x,由勾股定理可得方程:(2)2=x2+(3x)2求得答案.
【解答】(1)證明:如圖,連接BD.
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°.
∵AF是⊙O的切線,
∴∠FAB=90°,
即∠DAB+∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠ABD.
∵BA=BC,∠ADB=90°,
∴∠ABC=2∠ABD.
∴∠ABC=2∠CAF.
(2)解:如圖,連接AE,
∴∠AEB=90°,
設(shè)CE=x,
∵CE:EB=1:4,
∴EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x,
在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2,
即(2)2=x2+(3x)2,
∴x=2.
∴CE=2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解答此題大關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
下列事件為必然事件的是( )
A.明天一定會(huì)下雨
B.經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口,遇到紅燈
C.任意買一張電影票,座位號(hào)是2的倍數(shù)
D.在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水加熱到100℃時(shí)會(huì)沸騰
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
下列函數(shù)中,當(dāng)x>0時(shí),y值隨x值的增大而減小的是( 。
A.y=x B.y=2x﹣1 C.y= D.y=x2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,AB是⊙O的直徑,C,D兩點(diǎn)在⊙O上,若∠BCD=40°,則∠ABD的度數(shù)為( )
A.40° B.50° C.80° D.90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
在數(shù)軸上,若A點(diǎn)表示數(shù)﹣1,點(diǎn)B表示數(shù)2,A、B兩點(diǎn)之間的距離為 .
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