Question

【題目】如圖，A(0，2)，B(6，2)，C(0，c)(c＞0)，以A為圓心AB長為半徑的交y軸正半軸于點(diǎn)D，與BC有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)為E，P為上一點(diǎn)．

(1)若c＝6+2，

①BC＝_____，的長為_____；

②當(dāng)CP＝6時(shí)，判斷CP與⊙A的位置關(guān)系，并加以證明；

(2)若c＝10，求點(diǎn)P與BC距離的最大值；

(3)分別直接寫出當(dāng)c＝1，c＝6，c＝9，c＝11時(shí)，點(diǎn)P與BC的最大距離(結(jié)果無需化簡)

Answer 1

【答案】(1)①12，π；②CP與⊙A相切；(2)若c＝10，點(diǎn)P與BC距離的最大值是；(3)c=1時(shí)，PM=；c=6時(shí)，PF＝6﹣；c=9時(shí)，PF＝6﹣；c=11時(shí)，PG＝.

【解析】

(1)①先求出AB，AC，進(jìn)而求出BC和∠ABC，最后用弧長公式即可得出結(jié)論；②判斷出△APC是直角三角形，即可得出結(jié)論；

(2)分兩種情況，利用三角形的面積或銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論；

(3)畫圖圖形，同(2)的方法即可得出結(jié)論．

解：(1)①如圖1，連接AE，

∵c＝6+2，

∴OC＝6+2，

∴AC＝6+2﹣2＝6，∵AB＝6，

在Rt△BAC中，根據(jù)勾股定理得，BC＝12，tan∠ABC＝＝，

∴∠ABC＝60°，

∵AE＝AB，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠BAE＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴的長為＝π，

故答案為12，π；

②CP與⊙A相切．

證明：∵AP＝AB＝6，AC＝OC﹣OA＝6，

∴AP2+CP2＝108．

又AC2＝(6)2＝108，

∴AP2+PC2＝AC2．

∴∠APC＝90°，即：CP⊥AP．

而AP是半徑，

∴CP與⊙A相切．

(2)若c＝10，即AC＝10﹣2＝8，則BC＝10．

①若點(diǎn)P在上，AP⊥BE時(shí)，點(diǎn)P與BC的距離最大，設(shè)垂足為F，

則PF的長就是最大距離，如圖2，

S△ABC＝AB×AC＝BC×AF，

∴AF＝＝，

∴PF＝AP﹣AF＝

②如圖3，若點(diǎn)P在上，作PG⊥BC于點(diǎn)G，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PG最大．

此時(shí)，sin∠ACB＝，

即PG＝＝．

∴若c＝10，點(diǎn)P與BC距離的最大值是；

(3)當(dāng)c＝1時(shí)，如圖4

過點(diǎn)P作PM⊥BC，sin∠BCP＝

∴PM＝＝；

當(dāng)c＝6時(shí)，如圖5，同c＝10的①情況，PF＝6﹣，

當(dāng)c＝9時(shí)，如圖6，同c＝10的①情況，PF＝6﹣，

當(dāng)c＝11時(shí)，如圖7，

點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，同c＝10時(shí)②情況，PG＝．