拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＜0)交x軸于點A(－1，0)、B(3，0)，交y軸于點C，頂點為D，以BD為直徑的⊙M恰好過點C．

(1)求頂點D的坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)拋物線上是否存在點P使△PBD為直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　(1)由題意：設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)，

　　∴y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a．

　　∴點C(O，－3a)，D(1，－4a)．

　　(2)過點D作DE⊥y軸于點E，易證△DEC∽△COB．

　　∴，∴．∴a2＝l，∵a＜0，∴a＝－1．

　　故拋物線的解析式為：y＝－x2＋2x＋3．

　　(3)符合條件的點P存在，共3個．

　�、偃簟螧PD＝90°，P點與C點重合，則Pl(0，3)(P1表示第一個P點，下同)②若∠DBP＝90°，過點P2作P2R⊥x軸于點R，設(shè)⊙M交x軸于另一點H，設(shè)點P2(p，－p2＋2p＋3)，

　　由△BP2R∽△DBH得，＝，即，

　　解得p＝－或p＝3(舍去)．故p2(－，－)．

　�、廴簟螧DP＝90°，設(shè)DP3的延長線交y軸于點N，過點D作DE⊥y軸于點E可證△NDE∽△HDB，

　　求得EN＝，∴N(O，)，求得DN的解析式為y＝x＋．

　　求拋物線與直線DN的交點得P3(，)，

　　綜上所述：符合條件的點P為(0，3)、(－，－)、(，)．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為x＝1，且拋物線經(jīng)過A(－1,0)、C(0，－3)兩點，與x軸交于另一點B.

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x＝1上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸x＝1上的一動點，求使∠PCB＝90°的點P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點M的坐標(biāo)是（3，0），半徑為2的⊙M交x軸于E、F

兩點，過點P（－1，0）作⊙M的切線，切點為點A，過點A作AB⊥x軸于點C，交⊙M于

點B。拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過P、B、M三點。

1.（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3分）

2.（2）若點Q是拋物線上一動點，且位于P、B兩點之間，設(shè)四邊形APQB的面積為S，點Q的

橫坐標(biāo)為x，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值和此時點Q的坐標(biāo)；（4分）

3.（3）如圖2，將弧AEB沿弦AB對折后得到弧AE′B，試判斷直線AF與弧AE′B的位置關(guān)系，

并說明理由。（3分）

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝mx＋n相交于兩點，這兩點的坐標(biāo)分別是（0,）和（m－b，m2－mb＋n），其中a，b，c，m，n為實數(shù),且a，m不為0．

（1）求c的值；

（2）設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的兩個交點是（x1，0）和（x2，0），求x1x2的值；

（3）當(dāng)－1≤x≤1時，設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c上與x軸距離最大的點為P（xo，yo ），求這時｜yo｜的最小值．

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2010年高級中等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷（廣東深圳） 題型：解答題

如圖9，拋物線y＝ax2＋c（a＞0）經(jīng)過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．

（1）求拋物線的解析式；（3分）
（2）點M為y軸上任意一點，當(dāng)點M到A、B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐標(biāo)；（2分）
（3）在第（2）問的結(jié)論下，拋物線上的點P使S△PAD＝4S△ABM成立，求點P坐標(biāo)．（4分）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試（河北卷）數(shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

某公司在固定線路上運輸，擬用運營指數(shù)Q量化考核司機的工作業(yè)績．Q =" W" + 100，而W的大小與運輸次數(shù)n及平均速度x（km/h）有關(guān)（不考慮其他因素），W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比．試行中得到了表中的數(shù)據(jù)．

次數(shù)n

2

1

速度x

40

60

指數(shù)Q

420

100

（1）用含x和n的式子表示Q；

（2）當(dāng)x = 70，Q = 450時，求n的值；

（3）若n = 3，要使Q最大，確定x的值；

（4）設(shè)n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m＞0）同時x減少m%的情況下，而Q的值仍為420，若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

參考公式：拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)是 

 

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