Question

8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（2，4），與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，連接AC，CD．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）E是拋物線上的點(diǎn)，求滿足∠ECD=∠ACO的點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線BC上，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求菱形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可．
（2）分①點(diǎn)E在直線CD上方的拋物線上和②點(diǎn)E在直線CD下方的拋物線上兩種情況，用三角函數(shù)求解即可；
（3）分①CM為菱形的邊和②CM為菱形的對(duì)角線，用菱形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（2，4），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），
∴-8a=4，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
（2）如圖1，

①點(diǎn)E在直線CD上方的拋物線上，記E′，
連接CE′，過(guò)E′作E′F′⊥CD，垂足為F′，
由（1）知，OC=4，
∵∠ACO=∠E′CF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{E′F′}{CF′}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)線段E′F′=h，則CF′=2h，
∴點(diǎn)E′（2h，h+4）
∵點(diǎn)E′在拋物線上，
∴-$\frac{1}{2}$（2h）²+2h+4=h+4，
∴h=0（舍）h=$\frac{1}{2}$
∴E′（1，$\frac{9}{2}$），
②點(diǎn)E在直線CD下方的拋物線上，記E，
連接CE，過(guò)E作EF⊥CD，垂足為F，
由（1）知，OC=4，
∵∠ACO=∠ECF，
∴tan∠ACO=tan∠ECF，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{EF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)線段EF=h，則CF=2h，
∴點(diǎn)E（2h，4-h）
∵點(diǎn)E在拋物線上，
∴-$\frac{1}{2}$（2h）²+2h+4=4-h，
∴h=0（舍）h=$\frac{3}{2}$
∴E（3，$\frac{5}{2}$），
點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{2}$），（3，$\frac{5}{2}$）
（3）①CM為菱形的邊，如圖2，

在第一象限內(nèi)取點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)P′作P′N′∥y軸，交BC于N′，過(guò)點(diǎn)P′作P′M′∥BC，交y軸于M′，
∴四邊形CM′P′N′是平行四邊形，
∵四邊形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′=P′N′，
過(guò)點(diǎn)P′作P′Q′⊥y軸，垂足為Q′，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠P′M′C=45°，
設(shè)點(diǎn)P′（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=$\sqrt{2}$m，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為y=-x+4，
∵P′N′∥y軸，
∴N′（m，-m+4），
∴P′N′=-$\frac{1}{2}$m²+m+4-（-m+4）=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
∴$\sqrt{2}$m=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
∴m=0（舍）或m=4-2$\sqrt{2}$，
菱形CM′P′N′的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$（4-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-4．
②CM為菱形的對(duì)角線，如圖3，

在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM∥BC，
交y軸于點(diǎn)M，連接CP，過(guò)點(diǎn)M作MN∥CP，交BC于N，
∴四邊形CPMN是平行四邊形，連接PN交CM于點(diǎn)Q，
∵四邊形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，
∵∠OCB=45°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ，
設(shè)點(diǎn)P（n，-$\frac{1}{2}$n²+n+4），
∴CQ=n，OQ=n+4，
∴n+4=-$\frac{1}{2}$n²+n+4，
∴n=0（舍），
∴此種情況不存在．
∴菱形的邊長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$-4．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，判定，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是用等角的同名三角函數(shù)值相等建立方程求解．