Question

19．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對角線AC，BD交于點(diǎn)0．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接PO并延長，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF∥AC，交BD于點(diǎn)F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△AOP是等腰三角形？
（2）設(shè)五邊形OECQF的面積為S（cm²），試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使S五邊形S_{五邊形OECQF}：S_△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得到AC=10，①當(dāng)AP=PO=t，如圖1，過P作PM⊥AO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AP=t=$\frac{25}{8}$，②當(dāng)AP=AO=t=5，于是得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作OH⊥BC交BC于點(diǎn)H，已知BE=PD，則可求△BOE的面積；可證得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面積比可求得△DFQ的面積，從而可求五邊形OECQF的面積．
（3）根據(jù)題意列方程得到t=$\frac{9}{2}$，t=0，（不合題意，舍去），于是得到結(jié)論；
（4）由角平分線的性質(zhì)得到DM=DN=$\frac{24}{5}$，根據(jù)勾股定理得到ON=OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，由三角形的面積公式得到OP=5-$\frac{5}{8}$t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=10，
①當(dāng)AP=PO=t，如圖1，
過P作PM⊥AO，
∴AM=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{5}{2}$，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AD}$，
∴AP=t=$\frac{25}{8}$，
②當(dāng)AP=AO=t=5，
∴當(dāng)t為$\frac{25}{8}$或5時(shí)，△AOP是等腰三角形；

（2）過點(diǎn)O作OH⊥BC交BC于點(diǎn)H，則OH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=3cm．
由矩形的性質(zhì)可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，又得∠DOP=∠BOE，
∴△DOP≌BOE，
∴BE=PD=8-t，
則S_△BOE=$\frac{1}{2}$BE•OH=$\frac{1}{2}$×3（8-t）=12-$\frac{3}{2}$t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比為$\frac{DQ}{DC}$=$\frac{t}{6}$，
∴$\frac{{S}_{△DFQ}}{{S}_{△DOC}}$=$\frac{{t}^{2}}{36}$
∵S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×6×8=12cm²，
∴S_△DFQ=12×$\frac{{t}^{2}}{36}$=$\frac{{t}^{2}}{3}$
∴S_{五邊形OECQF}=S_△DBC-S_△BOE-S_△DFQ=$\frac{1}{2}$×6×8-（12-$\frac{3}{2}$t）-$\frac{{t}^{2}}{3}$=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12；
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12；

（3）存在，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴S_{五邊形OECQF}：S_△ACD=（-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12）：24=9：16，
解得t=3，或t=$\frac{3}{2}$，
∴t=3或$\frac{3}{2}$時(shí)，S五邊形S_{五邊形OECQF}：S_△ACD=9：16；

（4）如圖3，過D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN=$\frac{24}{5}$，
∴ON=OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∵OP•DM=3PD，
∴OP=5-$\frac{5}{8}$t，
∴PM=$\frac{18}{5}$-$\frac{5}{8}$t，
∵PD²=PM²+DM²，
∴（8-t）²=（$\frac{18}{5}$-$\frac{5}{8}$t）²+（$\frac{24}{5}$）²，
解得：t=16（不合題意，舍去），t=$\frac{112}{39}$，
∴當(dāng)t=$\frac{112}{39}$時(shí)，OD平分∠COP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．