Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。點(diǎn)D是AC上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DF⊥BC于F，再過F作FE//AC，交AB于E。設(shè)CD=x，DF=y.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)四邊形AEFD為菱形時(shí)，求x的值；

（3）當(dāng)△FED是直角三角形時(shí)，求x的值.

 

 

Answer 1

（1）；（2）40；（3）30.

【解析】

試題分析：（1）由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值可得∠C=30°，從而在Rt△CDF中，再應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值可得y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)，由AD=DF即AC－CD=DF列方程求解.

（3）首先判斷△FED是直角三角形只有∠FDE=90°，得出，解之即為所求.

試題解析：（1）∵∠B=90°，AC=60，AB=30，

∴.∴∠C=30°.∴.

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為.

（2）當(dāng)四邊形AEFD為菱形時(shí)，有AD=DF，

∴AC－CD=DF，即，解得x=40.

∴當(dāng)四邊形AEFD為菱形時(shí)，x=40.

（3）如圖，當(dāng)△FED直角三角形是時(shí)，只能是∠FDE=90°，

∵DF⊥BC，∠B=90°，∴DF//AB.

又∵FE//AC，∴四邊形AEFD為平行四邊形. ∴AE=DF.

由DF⊥BC得∠2=90°，∴∠1=∠2. ∴DE//BC.

∴∠3=∠B=90°，∠4=∠C=30°.

在Rt△BOC中，，即60－x= x，

∴x=30.

∴當(dāng)△FED是直角三角形時(shí)，x=30.

考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)問題；2. 銳角三角函數(shù)定義；3.特殊角的三角函數(shù)值；4. 菱形四邊的性質(zhì)；5.方程思想的應(yīng)用.