Question

5．（1）對(duì)于算式2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
不用計(jì)算器，你能計(jì)算出來嗎？
（2）你知道它的計(jì)算結(jié)果的個(gè)位是幾嗎？
（3）根據(jù)（1）推測(cè)（a+1）（a²+1）（a⁴+1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）=$\frac{{2}^{2048}-1}{a-1}$或2¹¹．

Answer 1

分析 （1）原式中的2變形為（3-1），利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，即可確定出結(jié)果的個(gè)位；
（3）分a≠1與a=1兩種情況，求出原式的值即可．

解答 解：（1）原式=（3-1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3²-1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3⁴-1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3⁸-1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3¹⁶-1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3³²-1）（3³²+1）+1
=3⁶⁴-1+1
=3⁶⁴；
（2）3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，
依次以3，9，7，1循環(huán)，
∵64÷4=16，∴3⁶⁴的個(gè)位數(shù)字是1；
（3）當(dāng)a≠1時(shí)，
原式=$\frac{1}{a-1}$（a-1）（a+1）（a²+1）（a⁴+1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a²-1）（a²+1）（a⁴+1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a⁴-1）（a⁴+1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a⁸-1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a¹⁶-1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a²⁰⁴⁸-1）
=$\frac{{a}^{2048}-1}{a-1}$；
當(dāng)a=1時(shí)，原式=2¹¹．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．