Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩動點，且∠DAE＝45°，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°后，得到△AFC，連接DF．

（1）試說明：△AED≌△AFD；

（2）當BE＝3，CE＝9時，求∠BCF的度數和DE的長；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）90°，5．

【解析】

（1）根據旋轉的性質，可得對應角與對應邊相等；根據全等三角形的判定定理即可證明；

（2）設DE＝x，則CD＝9﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，推出x2＝（9﹣x）2+32，解方程即可．

（1）證明：∵將△ABE繞點A逆時針旋轉90°后，得到△AFC，

∴△BAE≌△CAF，

∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，BE=CF，

∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，

∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，

∴∠DAE＝∠DAF，

∵DA＝DA，AE＝AF，

∴△AED≌△AFD（SAS）；

（2）解：設DE＝x，則CD＝9﹣x．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠ABE＝∠ACF＝45°，

∴∠BCF＝90°，

∵△AED≌△AFD，

∴DE＝DF＝x，

在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，

∴x2＝（9﹣x）2+32，

∴x＝5，

∴DE＝5．