Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2mx+m-1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)為A，B．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．
①當(dāng)m=1時(shí)，求線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
②若拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用配方法即可解決問題．
（2）①m=1代入拋物線解析式，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．
②根據(jù)題意判斷出點(diǎn)A的位置，利用待定系數(shù)法確定m的范圍．

解答 解：（1）∵y=mx²-2mx+m-1=m（x-1）²-1，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-1）．
（2）①∵m=1，
∴拋物線為y=x²-2x，
令y=0，得x=0或2，不妨設(shè)A（0，0），B（2，0），
∴線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．
②如圖所示，拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個(gè)整點(diǎn)，
∴點(diǎn)A在（-1，0）與（-2，0）之間（包括（-1，0）），
當(dāng)拋物線經(jīng)過（-1，0）時(shí)，m=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）時(shí)，m=$\frac{1}{9}$，
∴m的取值范圍為$\frac{1}{9}$＜m≤$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、配方法確定頂點(diǎn)坐標(biāo)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．