【題目】如圖,二次函數(shù)yax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo),頂點A的坐標(biāo)為.直線x軸于點B,交y軸于點C,與拋物線的對稱軸交于點DEy軸上的一個動點.

1)求這條拋物線的解析式和點D的坐標(biāo);

2)若以C、DE為頂點的三角形與ACD相似,求點E的坐標(biāo);

3)若點E關(guān)于直線BC的對稱點M恰好落在拋物線上,求點M的坐標(biāo).

【答案】(1)這條拋物線的解析式為:y,點D的坐標(biāo)為:(2,2).(2)E點坐標(biāo)為(0,1)或(0).(3)M點坐標(biāo)為(2,)或(﹣1,).

【解析】

1)將函數(shù)解析式寫成頂點式,代入頂點及拋物線與x軸交點坐標(biāo)可以求得解析式;點D橫坐標(biāo)即為頂點橫坐標(biāo),代入直線解析式即可求得點D縱坐標(biāo),從而可得結(jié)論;

2)設(shè)點E坐標(biāo)為(0,m),用含m的代數(shù)式表示出CE,利用相似三角形的性質(zhì)列比例式可解;

3)從點E關(guān)于直線BC的對稱點My軸作垂直,由∠MEH與∠OBC相等,利用三角函數(shù)求得相關(guān)線段的長度,從而用一個未知數(shù)表示出點M的坐標(biāo),再將其代入拋物線解析式可求得這個未知數(shù),從而得解.

1)∵二次函數(shù)yax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)(2+3,0),頂點A的坐標(biāo)為(2,),

設(shè)其頂點式解析式為yax22+,把(2+3,0)代入可得:a=﹣,

y=﹣x22+,即y,

∵直線與拋物線的對稱軸交于點D,當(dāng)x2時,y2

∴點D坐標(biāo)為(2,2).

∴這條拋物線的解析式為:y,點D的坐標(biāo)為:(2,2).

2)設(shè)點E坐標(biāo)為(0,m

∵直線x軸于點B,交y軸于點C,當(dāng)x0時,y3;當(dāng)y0時,x6

∴點C坐標(biāo)為(0,3),點B坐標(biāo)為(6,0),

CD,AD,CE3m,

當(dāng)△ADC∽△DCE時,,即,解得m1;

當(dāng)△ADC∽△ECD時,,即,解得m,

E點坐標(biāo)為(0,1)或(0).

3)如圖,作MHy軸于點H,設(shè)MEBC交于點G,MHm,則∠MEH=∠OBC

tanOBCtanMEH,

HE2mEMm

RtCEG中,EGEM

CGm ,CEm ,

OEOCCE3m ,

OHOE+EH3m+2m3+m,

∴點M坐標(biāo)為(m,3+m),

Mm,3+m)代入y=﹣x22+得:m12m2=﹣1,

M點坐標(biāo)為(2)或(﹣1,).

練習(xí)冊系列答案
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(簡單應(yīng)用)

1)在圖中,若AC,BC2,則CD   

2)如圖,ABO的直徑,點C、DO上,,若AB10BC8,求CD的長.

(拓展延伸)

3)如圖,∠ACB=∠ADB90°,ADBD,若ACa,BCbab),求CD的長.(用含a,b的代數(shù)式表示).

4)如圖,∠ACB90°,ACBC,點PAB的中點,若點E滿足AEAC,CECA,點QAE的中點,請直接寫出線段PQAC的數(shù)量關(guān)系.

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