Question

如圖，已知△ABC中∠BAC=135°，點E，點F在BC上，EM垂直平分AB交AB于點M，F(xiàn)N垂直平分AC交AC于點N，BE=12，CF=9．
（1）判斷△EAF的形狀，并說明理由；
（2）求△EAF的周長．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=AE，AF=CF，再由∠BAC=135°得出∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-135°=45°，故∠BAE+∠CAF=45°，∠EAF=135°-45°=90°由此可得出結(jié)論；
（2）由（1）知△EAF是直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出EF的長，進而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）△EAF為直角三角形．
∵EM是AB的垂直平分線，
∴BE=AE，
∴∠BAE=∠B．
∵FN是AC的垂直平分線，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠C．
∵∠BAC=135°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-135°=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=135°-45°=90°，
∴△EAF為直角三角形；

（2）在△EAF中，
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²，
∵BE=4，CF=3，
∴EF²=4²+3²=25，
∴EF=5，
∴△EAF的周長=12．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．