Question

已知邊長為2的等邊△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在AC上，在△BPD的周長最小的情況下，AP的長度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接BD′與AC相交，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，BD′與AC的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，連接CD′，求出AB∥CD′，判斷出△ABP和△CD′P相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出

AP

PC

，然后求解即可．

解答：解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接BD′與AC相交，
則BD′與AC的交點(diǎn)即為△BPD的周長最小時(shí)的點(diǎn)P，
連接CD′，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠PCD′=∠ACB=60°，CD′=CD=

1

2

BC=1，
∴∠BCD′=60°×2=120°，
∵∠ABC+∠BCD′=60°+120°=180°，
∴AB∥CD′，
∴△ABP∽△CD′P，
∴

AP

PC

=

AB

CD′

=2，
∴AP=

2

2+1

×2=

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱確定最短路線的方法找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．