Question

已知，開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-6，0），另一個(gè)交點(diǎn)是B，與y軸的交點(diǎn)是C，且拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-2，△AOC的面積為6

3

（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）M點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C以每秒

3

2

個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線AB、BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)△AMP的面積為y，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的最大值；
（4）在運(yùn)動(dòng)的過程中，過點(diǎn)M作MN∥x軸交BC邊于N，試問，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用△AOC的面積為6

3

和開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-6，0），可知C點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-2，可以得出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用（1）中所求的點(diǎn)以及對(duì)稱軸建立方程組求出函數(shù)解析式；
（3）分兩種情況探討：
①點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB勻速運(yùn)動(dòng)，②點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；
（4）分三種情況探討：∠QMN或∠QNM或∠MQN為直角．

解答：解：（1）設(shè)C（0，c），B（x₂，0），
S△AOC=

1

2

|c|×6=6

3

，|c|=2

3

，
又開口向上，對(duì)稱軸為x=-2，
∴c＜0，
即c=-2

3

，
-6+x₂=-2×2，
x₂=2，
點(diǎn)B坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)C坐標(biāo)（0，-2

3

）；

（2）把點(diǎn)A（-6，0），C（0，-2

3

）代入y=ax²+bx+c和對(duì)稱軸-

b

2a

=-2，得

36a-6b+c=0 c=-2 3 b=4a

，
解得

a= 3 6 b= 2 3 3 c=-2 3

，
∴y=

3

6

x²+

2 3

3

x-2

3

；

（3）如圖，

AB=8，AC=4

3

，BC=4，
△ABC為直角三角形；
如圖①，

P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，
△AMP的面積最大為y=

1

2

×8×

3

=4

3

；
當(dāng)4≤x＜6時(shí)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，如圖②，
AM=

3

2

x，PC=12-2x，
△AMP的面積最大為，

△AMP的面積為y=

1

2

AM•PC=

1

2

×

3

2

x（12-2x），
=-

3

2

（x-3）²+

9

2

3

，
這時(shí)△AMP的面積最大為

9 3

2

．
綜上所知△AMP的面積最大為

9 3

2

；

（4）如圖③，

△QMN為直角三角形
∠QMN或∠QNM為直角，
設(shè)Q為（x，0），到MN的距離為t，
則QM=-

3

3

x-2

3

=t，點(diǎn)N到x軸的距離是

3

x-2

3

=t，
則Q為（-4，0）或（0，0），
當(dāng)∠MQN為直角時(shí)為（0，0）；
綜上所知Q為（-4，0）或（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查二次函數(shù)的運(yùn)用，注重了數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論思想的滲透．