Question

已知雙曲線y=

4

x

與直線y=

1

4

x交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．如圖，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，BC⊥AP于C，交x軸于F，PA交y軸于E，則

AE2+BF2

EF2

的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,壓軸題

分析：方法1：由所求的式子聯(lián)想到勾股定理，故過A作AG⊥y軸于G，過B作BH⊥x軸于H，設(shè)FH=a，則有OF=4+a，BF²=a²+1．易證△AEG∽△BFH，從而有

AE

BF

=

EG

FH

=

AG

BH

=4，就可用a的代數(shù)式表示AE²、EF²，然后代入所求的式子就可解決問題；
方法2：過點(diǎn)A作AG∥BF，交x軸于點(diǎn)G，連接EG，易證△AOG≌△BOF，則有AG=BF，OG=OF．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得EG=EF，在Rt△GAE中運(yùn)用勾股定理可得AG²+AE²=GE²，然后通過等量代換就可解決問題．

解答：解1：過A作AG⊥y軸于G，過B作BH⊥x軸于H，設(shè)直線AC與x軸交于點(diǎn)K，如圖，

聯(lián)立

y= 4 x y= 1 4 x

，
解得：

x1=-4 y1=-1

，

x2=4 y2=1

．
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-4，-1），B（4，1）．
∴AG=4，OG=1，OH=4，BH=1．
設(shè)FH=a，則有OF=OH+FH=4+a，BF²=FH²+BH²=a²+1．
∵AC⊥CF，OE⊥OK，
∴∠CFK=90°-∠CKF=∠OEK．
∵AG⊥y軸，BH⊥x軸，
∴∠AGE=∠BHF=90°．
∴△AEG∽△BFH．
∴

AE

BF

=

EG

FH

=

AG

BH

=4．
∴AE²=16BF²=16（a²+1），EG=4FH=4a．
∴OE=

.

EG-OG

.

=|4a-1|．
∴EF²=（4a-1）²+（4+a）²=17（a²+1）．
∴

AE2+BF2

EF2

=

16(a2+1)+(a2+1)

17(a2+1)

=1．
故答案為：1．
解2：過點(diǎn)A作AG∥BF，交x軸于點(diǎn)G，連接EG，如圖．

則有∠GAC=∠FCA=90°，∠AGO=∠BFO．
∵雙曲線y=

4

x

與直線y=

1

4

x都關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，
∴它們的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，即OA=OB．
在△AOG和△BOF中，

∠AGO=∠BFO ∠AOG=∠BOF OA=OB

，
∴△AOG≌△BOF，
∴AG=BF，OG=OF．
∵OE⊥GF，
∴EG=EF．
∵∠GAC=90°，
∴AG²+AE²=GE²，
∴BF²+AE²=EF²，
∴

AE2+BF2

EF2

=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，而由線段的平方聯(lián)想到勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．