Question

已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∠A=30°．
（1）求證：AD=BD；
（2）過(guò)D作DE⊥AB于E，CD=4，AB邊上有一點(diǎn)F，且S_△DEF=4，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）若證明AD=BD，則證明∠A=∠ABD=30°即可；
（2）根據(jù)三角形面積公式可求出EF的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴AD=BD；
（2）∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，
∴CD=DE=4，
∵S△DEF=

1

2

DE•EF=

1

2

×4•EF=4，
∴EF=4，
在Rt△ADE中，∠A=30°，DE=4，
∴AE=4

3

，
∴AF=4

3

+2或4

3

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用和含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．