Question

如圖，△ABC中∠A的平分線為AD，M為BC的中點，過點M作ME∥AD交BA的延長線于E，交AC于F．
（1）求證：BE=CF．
（2）若∠BAC=90°，BC=10．AB=6，求BE的長．

Answer 1

考點：平行線分線段成比例

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明

AE

EG

=

AF

FC

；證明BE=EG，得到BE=CF，即可解決問題．
（2）運用勾股定理求出AC的長度；借助角平分線的性質(zhì)求出BD的長度；證明

BD

BM

=

AB

BE

，求出BE即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，過點C作CG∥EM，交BF的延長線于點G；
∴

AE

EG

=

AF

FC

；而AD平分∠BAC，AD∥EM，
∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠AEF，∠EFA=∠CAD，
∴∠AEF=∠AFE，AE=AF，
∴EG=CF；而EM∥CG，BM=CM，
∴BE=EG，
∴BE=CF．
（2）∵∠BAC=90°，BC=10．AB=6，
∴AC²=10²-6²，AC=8；
∵AD平分∠BAC，
∴

BD

DC

=

AB

AC

=

3

4

；解得：BD=

30

7

；
∵M為BC的中點，
∴BM=

1

2

BC=5；
∵AD∥EM，
∴

BD

BM

=

AB

BE

，
解得：BE=7．

點評：該題主要考查了角平分線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定等知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運用平行線分線段成比例定理來分析、判斷、推理或解答．