Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD=8，AB=CB=6，點E、F、G、H分別是DA、AB、BC、CD的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）若DA⊥AB，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BD，交于點O，運用三角形中位線定理可證到四邊形EFGH是平行四邊形，要證四邊形EFGH是矩形，只需證EF⊥FG，由于EF∥BD，F(xiàn)G∥AC，只需證DB⊥AC，只需運用線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理就可解決問題；
（2）要求矩形EFGH的面積，只需求出EF、FG的值，只需求出BD、AC，運用勾股定理就可求出BD，運用面積法就可求出AO，從而求出AC，問題得以解決．

解答 解：（1）連接AC、BD，交于點O，如圖．
∵點E、F、G、H分別是DA、AB、BC、CD的中點，
∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，
EF=GH=$\frac{1}{2}$BD，EH=FG=$\frac{1}{2}$AC，
∴四邊形EFGH是矩形．
∵AD=CD，AB=CB，
∴點D、B都在線段AC的垂直平分線上，
∴DB垂直平分AC，
∴DB⊥AC，OA=OC．
∵EF∥DB，
∴EF⊥AC．
∵FG∥AC，
∴EF⊥FG，
∴?EFGH是矩形；

（2）∵DA⊥AB，AD=8，AB=6，
∴DB=10．
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=5．
∵S_△BAD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$BD•AO，
∴AO=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{48}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴OC=$\frac{24}{5}$，AC=$\frac{48}{5}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{24}{5}$，
∴S_矩形EFGH=FG•EF=$\frac{24}{5}$×5=24．

點評 本題主要考查了三角形中位線定理、矩形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理、勾股定理等知識，運用線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理證到DB垂直平分AC是解決第（1）小題的關(guān)鍵．