Question

（1）如圖（1）已知，已知△ABC是等邊三角形，以BC為直徑的⊙O交AB、AC于D、E．求證：△ODE是等邊三角形；
（2）如圖（2）若∠A=60°，AB≠AC，則（1）的結論是否成立？如果成立，請給出證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形進行證明；
（2）此題只要求得∠BOD+∠COE=120°即可．根據(jù)三角形的內角和定理和等腰三角形的性質進行求解或構造∠DOE所對的弧所對的圓周角，只要求得圓周角是30°即可．
解答：解：（1）∵△BAC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OD=OB=OE=OC，
∴△OBD和△OEC都是等邊三角形．
∴∠BOD=∠COE=60°．
∴∠DOE=60°．
∴△ODE是等邊三角形．

（2）結論（1）仍成立．
證明：連接CD，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°．
∴∠ADC=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°．
∴∠DOE=2∠ACD=60°．
∵OD=OE，
∴△ODE是等邊三角形．
點評：解答本題的關鍵是能夠熟練運用圓周角定理及其推論求得有關角的度數(shù)．注意：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．