【題目】如圖,AB為⊙O直徑,AC為⊙O的弦,過⊙O外的點D作DE⊥OA于點E,交AC于點F,連接DC并延長交AB的延長線于點P,且∠D=2∠A,作CH⊥AB于點H.
(1)判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若HB=2,cosD=,請求出AC的長.
【答案】(1)DC與⊙O相切;(2).
【解析】試題分析:(1)連接OC,易證∠COB=∠D,由于∠P+∠D=90°,所以∠P+∠COB=90°,從而可知半徑OC⊥DC;
(2)由(1)可知:cos∠COP=cos∠D=,設(shè)半徑為r,所以OH=r﹣2,從而可求出r的值,利用勾股定理即可求出CH的長度,從而可求出AC的長度.
試題解析:解:(1)DC與⊙O相切.理由如下:
連接OC,∵∠COB=2∠A,∠D=2∠A,∴∠COB=∠D,∵DE⊥AP,∴∠DEP=90°,在Rt△DEP中,∠DEP=90°,∴∠P+∠D=90°,∴∠P+∠COB=90°,∴∠OCP=90°,∴半徑OC⊥DC,∴DC與⊙O相切.
(2)由(1)可知:∠OCP=90°,∠COP=∠D,∴cos∠COP=cos∠D=,∵CH⊥OP,∴∠CHO=90°,設(shè)⊙O的半徑為r,則OH=r﹣2.在Rt△CHO中,cos∠HOC===,∴r=5,∴OH=5﹣2=3,∴由勾股定理可知:CH=4,∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8.
在Rt△AHC中,∠CHA=90°,∴由勾股定理可知:AC=.
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【題目】在平面直角坐標系中,若點A(a,1)在第二象限,則點B(﹣a,0)在( )
A.x軸正半軸上B.x軸負半軸上C.y軸正半軸上D.y軸負半軸上
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【題目】(1)如圖,∠A=∠D=90°,BE平分∠ABC,且點E是AD的中點,求證:BC=AB+CD.
(2)如圖,△ACB和△ECD都是等邊三角形,點A、D、E在同一直線上,連接BE.
①求證:AD=BE;
②求∠AEB的度數(shù).
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【題目】先閱讀理解下面的例題,再按要求解答下列問題:
例題:求代數(shù)式y2+4y+8的最小值.
解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4
∵(y+2)2≥0
∴(y+2)2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4.
(1)求代數(shù)式m2+m+4的最小值;
(2)求代數(shù)式4﹣x2+2x的最大值;
(3)某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長15m)的空地上建一個長方形花園ABCD,花園一邊靠墻,另三邊用總長為20m的柵欄圍成.如圖,設(shè)AB=x(m),請問:當x取何值時,花園的面積最大?最大面積是多少?
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【題目】如圖,已知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于E、D兩點,若AB=12cm,BC=10cm,∠A=50°,求△BCE的周長和∠EBC的度數(shù).
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【題目】如圖,房間內(nèi)有一架梯子斜靠在墻上,梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米,此時梯子的傾斜角為75°,若梯子斜靠在另一面墻時,頂端距地面的垂直距離NB為b米,梯子的傾斜角為45°,則這個房間的寬AB是多少米?為什么?
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【題目】如圖,在長方形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,點E是CD邊上的一點,且DE=2cm,動點P從A點出發(fā),以2cm/s的速度沿A→B→C→E運動,最終到達點E.當△APE的面積等于20cm2時,求點P運動的時間.
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