Question

如圖，平面直角坐標系中，點A（0，4），B（3，0），D、E在x軸上，F(xiàn)為平面上一點，且EF⊥x軸，直線DF與直線AB互相垂直，垂足為H，△AOB≌△DEF，設(shè)BD=h．
（1）若F坐標（7，3），則h=______，若F坐標（-10，-3），則DH=______；
（2）如h=，則相對應的F點存在______個，并請求出恰好在拋物線y=上的點F的坐標；
（3）請求出4個值，滿足以A、H、F、E為頂點的四邊形是梯形．

Answer 1

解：∵A（0，4），B（3，0）
∴OA=4  OB=3
∵△AOB≌△DEF
∴DE=4   EF=3
（1）若F坐標（7，3），則 0E=7  EF=3  OD=7-4=3
∵OB=3
∴h=BD=0
若F坐標（-10，-3），如圖，則OE=10  DE=4  OD=6
∴BD=OD+OB=9
∵△FED∽△BHD
∴=即=
∴DH=

（2）若h=，則點D坐標為D₁（-，0）或D₂（，0），如圖所示，相對應的F點共有4個．

∵OE₁=-4-=-    OE₂=4-=  OE₃=3++4=    OE₄=3+-4=
∴這4個點的坐標分別是 F₁（-，3 ）   F₂（，3）F₃（，3 ）  F₄（，3）
分別把這4個點代入拋物線y=中可得點 F₂（，3）在拋物線上．
（3）∵FH⊥AB  EF⊥x軸
∴FH與EF不可能平行
①當AF∥EH時，如圖

此時，BD=h，則BH=h  BE=4-h
∵△ABO∽△GEB
∴BE：GE：BG=3：4：5
∴BG=  GE=
∵AF∥HE
∴△GEH∽△GFA
∴=
∴=
化簡得：3h²-25h+25=0
解得：h=
②當FH∥AE時，如圖△DEF∽△EAB

∴=
∵BE=BD-DE=h-4
∴=
∴h=
③當FH∥AE時，如圖△DEF∽△EAB

∴=
∵BE=BD+DE=h+4
∴=
∴h=
綜上可知：滿足以A、H、F、E為頂點的四邊形是梯形的h的4個值分別是，，，．
分析：（1）先根據(jù)題意求出DE=4，EF=3，確定點F的位置后可求出OB=3，所以h=BD=0；若F坐標（-10，-3），則OE=10，DE=4，OD=6，再根據(jù)△FED∽△BHD中的比例關(guān)系=來求出DH=．
（2）先根據(jù)h=，求出點D坐標為（-，0）或（，0）共兩個，因為DH⊥AB，所以滿足條件的DH有2條，每條DH上滿足條件的F點有兩個，所以共有4個．根據(jù)△AOB≌△DEF，DE=4，EF=3，可分別求出對應的4個F點的坐標，再分別代入拋物線y=中可確定在拋物線上的點F．
（3）根據(jù)FH⊥AB，EF⊥x軸可以確定FH與EF不可能平行．所以從AF∥EH和FH∥AE兩個方面進行分析．
當AF∥EH時BD=h，則BH=h  BE=4-h，利用△ABO∽△GEB和△GEH∽△GFA得到=，代入對應的數(shù)值可得3h²-25h+25=0，從而求得h=．
當FH∥AE時，△DEF∽△EAB，此時分兩種情況：一種是點F在第二象限，另一種是點F在第四象限．都可以用△DEF∽△EAB中的=作為等量關(guān)系，得到關(guān)于h的方程，解方程即可求解．
點評：本題的難點在第（3）題，要把握住梯形的性質(zhì)，根據(jù)題意確定FH與EF不可能平行，從AF∥EH和FH∥AE兩個方面進行分析是解題的關(guān)鍵．在有直角反復出現(xiàn)的圖形中利用直角三角形的全等和相似來得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是常用的方法．